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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 4: Límites y Continuidad

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11. Calcule los siguientes límites
b) lim⁡x→1sen⁡(xπ)x−1\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\operatorname{sen}(x \pi)}{x-1}

Respuesta

Para este ejercicio vale todo lo mismo que te dije en el item anterior, con L'Hopital ves a ojo que este límite da −π-\pi, así como escuchaste, A OJO. Para resolverlo sin L'Hopital vamos a tener que hacer un quilombo parecido al del item anterior, te repito, estás acá bajo tu propio riesgo jaja

Para calcular el límite lim⁡x→1sin⁡(πx)x−1\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sin (\pi x)}{x-1} Lo único que sabemos es que lim⁡x→0sin⁡(x)x=1\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1. Tenemos que reescribir nuestro límite para poder usar esto. 

lim⁡x→1sin⁡(πx)x−1 \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sin (\pi x)}{x-1} Multiplicamos y dividimos la expresión por π\pi

lim⁡x→1sin⁡(πx)x−1⋅ππ=lim⁡x→1π⋅sin⁡(πx)π⋅(x−1) \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sin (\pi x)}{x-1} \cdot \frac{\pi}{\pi} = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\pi \cdot \sin (\pi x)}{\pi \cdot (x-1)}  
 
Si en este punto usas la sustitución y=π(x−1)y = \pi(x - 1), y=π(x−1)⇒x=yπ+1y = \pi(x - 1) \Rightarrow x = \frac{y}{\pi} + 1

Fijate que ahora cuando xx tiende a 11, yy tiende a 00. El nuevo límite en términos de yy es: lim⁡y→0πsin⁡(π⋅(yπ+1))yπ\lim _{y \rightarrow 0} \frac{\pi \sin(\pi \cdot (\frac{y}{\pi} + 1))}{\frac{y}{\pi}}

Hacemos la distributiva adentro del seno: lim⁡y→0πsin⁡(y+π)y\lim _{y \rightarrow 0} \frac{\pi \sin(y + \pi)}{y} sin⁡(y+π)=−sin⁡(y)\sin(y + \pi) = -\sin(y) teniendo en cuenta cómo se comporta la función seno (ay por favor, te digo que con L'Hopital salia a ojooooo! jaja confiá en miiii) lim⁡y→0−πsin⁡(y)y\lim _{y \rightarrow 0} \frac{-\pi \sin(y)}{y} Ahí si nos apareció el límite especial: lim⁡y→0sin⁡(y)y=1\lim _{y \rightarrow 0} \frac{\sin(y)}{y} = 1  Entonces, el límite nos da... lim⁡x→1sin⁡(πx)x−1=−π \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sin (\pi x)}{x-1} = -\pi   

Con L'Hopital salía A OJO, en el parcial si te tocaría un límite así sería un regalo. Lo difícil fue resolverlo sin usar L'Hopital todavía.
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ExaComunidad
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ABBIE
24 de mayo 15:04
hola flor que tal, una consulta ya aprendí a hacer L hopital y solo estoy revisando los ejercicios de esta guía, pero me estoy re confundiendo en estos que tienen sen y ln, dices que sale a ojo, pero me confundo y no me da lo mismo que a vos, cuál era el truco con L hopital para identificar rápido estos?
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Flor
PROFE
24 de mayo 21:26
@ABBIE Hola Abbie! Jajajaja capaz poner "a ojo" es con mucha práctica y fue un poco fuerte, pero mirá que fácil sale con L'Hopital, avisame si ahi lo ves:

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ABBIE
25 de mayo 15:20
ay dale gracias, la verdad ya casi todo me sale bien con L Hopital pero logratimos y trigonométricas a veces me traban, graciasss
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