Para calcular el límite $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sin (\pi x)}{x-1}$ Lo único que sabemos es que $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$. Tenemos que reescribir nuestro límite para poder usar esto. 

$ \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sin (\pi x)}{x-1} $ Multiplicamos y dividimos la expresión por \(\pi\)

$ \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sin (\pi x)}{x-1} \cdot \frac{\pi}{\pi} = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\pi \cdot \sin (\pi x)}{\pi \cdot (x-1)} $ 

 Hacemos la distributiva adentro del seno: $\lim _{y \rightarrow 0} \frac{\pi \sin(y + \pi)}{y}$ \(\sin(y + \pi) = -\sin(y)\) teniendo en cuenta cómo se comporta la función seno (ay por favor, te digo que con L'Hopital salia a ojooooo! jaja confiá en miiii) $\lim _{y \rightarrow 0} \frac{-\pi \sin(y)}{y}$ Ahí si nos apareció el límite especial: $\lim _{y \rightarrow 0} \frac{\sin(y)}{y} = 1$  Entonces, el límite nos da... $ \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sin (\pi x)}{x-1} = -\pi $  

Con L'Hopital salía A OJO, en el parcial si te tocaría un límite así sería un regalo. Lo difícil fue resolverlo sin usar L'Hopital todavía.